Variaciones sin repetición

Llamamos VARIACIONES SIN REPETICIÓN o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) a los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por V_m,n. (n≤m).

Veamos con un ejemplo cómo se construyen: partimos de un conjunto con cuatro elementos, A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las variaciones sin repetición posibles.

De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos: 1 , 2 , 3 , 4.

De dos elementos. Se pueden obtener a partir de las de orden uno añadiendo el segundo elemento. Como no se pueden repetir, el segundo elemento puede ser cualquiera de los tres restantes. Así se obtienen: 12 , 13 , 14 , 21 , 23, 24 , 31 , 32 , 34 , 41 , 42 , 43.

De tres elementos. Las obtenemos a partir de las anteriores, añadiendo a cada una de ellas los dos elementos que faltan. Se obtienen: 123 , 124 , 132 , 134 , 142 , 143 , 213 , 214 , 231 , 234 , 241 , 243 , 312 , 314 , 321 , 324 , 341 , 342 , 412 , 413 , 421 , 423 , 431 , 432.

De cuatro elementos. Se obtienen a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas el elemento que falta. Se obtienen: 1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431 , 3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321.

Como estamos construyendo variaciones sin repetición y los elementos no se pueden repetir, ya no podemos continuar construyendo variaciones de orden cinco.

Al estar trabajando con cuatro elementos nada más, la formación de variaciones ordinarias resulta relativamente fácil, pero se puede hacer más fácil todavía utilizando para la construcción un diagrama de árbol, como se puede comprobar con la siguiente escena.

Ahora bien, muchas veces no nos interesa saber cuáles son todas las variaciones, sino saber el número de ellas que hay.Siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, es fácil deducir una fórmula para obtener el número de variaciones sin repetición:

De orden uno. Hay cuatro. V_4,1 = 4.
De orden dos. Se han construido añadiendo tres elementos a cada una de las anteriores. V_4,2 = 4 · 3 = 12.
De orden tres. Se han construido añadiendo dos elementos a cada una de las anteriores. V_4,3 = 4 · 3 · 2 = 24.
De orden cuatro. Se ha añadido un elemento a las anteriores. V_4,4 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

A partir de estas fórmulas es fácil observar que para calcular el número de variaciones sin repetición V_m,n, se realiza un producto de factores consecutivos en orden decreciente empezando por m y colocando un número de factores igual a n.

La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de variaciones sin repetición para cualquier valor de m y n.

En esta última escena puedes realizar algunos ejercicios de aplicación de variaciones sin repetición.

Actividad 1.

Calcula: a) V_7,5 b) V_10,4 c) V_15,8 d) V_20,3

Actividad 2.

a) Con los elementos del conjunto A={1, 3, 5, 7}, construir todas las variaciones sin repetición de orden 3.

b) Con los elementos del conjunto A={a, e, i, o, u}, construir todas las variaciones sin repetición de orden 2.

Actividad 3.

a) ¿Cuántas elecciones distintas de delegado(a) y subdelegado(a) se pueden realizar en una clase de 25 alumnos(as)?

b) ¿Cuántas si de los 25 hay 15 alumnas y 10 alumnos e imponemos la condición de que delegado(a) y subdelegado(a) sean de distinto sexo?