Razones Trigonométricas de cualquier ángulo

Hasta ahora hemos visto razones trigonométricas solamente de ángulos agudos, pero estos conceptos los podemos extender a cualquier ángulo, incluso a los mayores de 360º pues estos se van a asemejar a algún ángulo entre 0 y 360º y por tanto sus razones trigonométricas serán iguales.

Ya sabes que las razones trigonométricas no dependen de lo grande que sea el triángulo, sino del ángulo en cuestión. Vamos a suponer que nuestro triángulo tiene hipotenusa 1. Este triángulo entonces podríamos dibujarlo dentro de una circunferencia de radio unidad, el radio de la circunferencia sería la hipotenusa del triángulo y el ángulo vamos a empezar a contarlo desde el eje positivo de las x, es decir el ángulo que medimos es el que forma el radio con el eje positivo x.

A esta circunferencia de radio 1 que tiene el centro en el origen de coordenadas se le llama circunferencia goniométrica. Los ángulos se miden desde el eje X y en sentido contrario a las agujas del reloj.

    La imagen de la izquierda muestra como dibujaríamos el ángulo de 60º. Pero además nos muestra gráficamente cómo calcular el seno y cómo calcular el coseno de un ángulo.

Observa que si la hipotenusa vale 1, el valor del seno coincide con la longitud del cateto opuesto y el valor del coseno con la longitud del cateto contiguo.

Así pues  en este caso:  sen 60 = 0,87  y cos 60 = 0,5.

Por tanto podemos quedarnos con la idea de que el coseno marca una longitud en el eje de las "x" y que el seno marca una longitud en el eje de las  "y". Además podemos identificar cualquier ángulo  con un punto (a,b) sobre la circunferencia cuyas coordenadas serán respectivamente el coseno y el seno del ángulo.

Observa y manipula el siguiente applet. Moviendo el punto azul P, puedes representar cualquier ángulo en cualquier cuadrante. Comprueba qué pasa con los valores del seno y el coseno cuando vamos cambiando el ángulo de cuadrante.

Responde a las siguientes preguntas manipulando la escena anterior:

• ¿Que valores toma el seno de un ángulo del segundo cuadrante?
• ¿Qué relación existe entre esos valores y los de un ángulo del primer cuadrante? ¿A  qué crees qué se debe?
• ¿En qué cuadrantes es negativo el seno? ¿Y el coseno? ¿Por qué crees qué sucede esto?
• ¿Entre qué valores se encuentra siempre el seno y el coseno de un ángulo?
• ¿Por qué crees que la tangente es negativa en el segundo cuadrante y positiva en el tercero?
• ¿Cuánto vale la tangente del ángulo 270º?
• ¿Cuánto puede valer la tangente de un ángulo?
• Encuentra los ángulos cuyo seno vale 0.93
• Encuentra los ángulos cuyo coseno vale   - 0.5
• Encuentra los ángulos cuya tangente vale  - 2.

Como puedes observar, los valores de seno y coseno están siempre entre  -1 y 1 y los signos se corresponden con los ejes. Por ejemplo, el seno es positivo en los cuadrantes donde está la parte positiva del eje OY, esto es, primer y segundo cuadrante y el coseno es positivo en los cuadrantes donde está la parte positiva del eje OX, esto es, el primer y el cuarto cuadrante.

Esto podemos resumirlo así:

Además sabemos que la tangente se pude obtener dividiendo seno entre coseno. Entonces los signos en los distintos cuadrantes se pueden obtener dividiendo los signos del seno y del coseno en ellos.

Reducción de ángulos al primer cuadrante

Acabamos de ver el comportamiento en cuanto a signo de las razones trigonométrica, pero si observas con detenimiento, los valores del seno, coseno y tangente en cualquier cuadrante son los mismos que en el primer cuadrante variando solamente el signo.

Por ejemplo  sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,87 y tg 30º = 0,58. El ángulo 150º cumple que sen 150º = 0,5; cos 150º = - 0,87 y tg 150º = - 0,58.

Como ves los valores son los mismos variando sólo el signo, esto nos lleva a pensar que debe haber alguna relación entre los ángulos 30º y 150º. Vamos a ver cómo se hace esa relación entre los distintos cuadrantes.

Reducción del segundo cuadrante al primero (ángulos suplementarios)

Observa la siguiente escena. Moviendo el punto P, puedes obtener cualquier ángulo  β del segundo cuadrante ( ángulos entre 90º y 180º.)

A partir del punto P y del segmento que lo une con el origen para definir el ángulo, obtenemos el triángulo verde del que sacaremos las razones trigonométricas del ángulo β.  

   Como hemos visto anteriormente, la longitud del segmento rojo determinará el seno del ángulo  β y la longitud del segmento azul el coseno.

Pues bien, observa que el triángulo rosa que se forma en el primer cuadrante tiene exactamente las mismas dimensiones que el verde, pues los segmentos azules son iguales y los segmentos rojos son iguales, y además ese triángulo rosa nos define un ángulo del primer cuadrante α .

Así pues, las razones trigonométricas de los ángulos  α  y  β tienen que ser iguales, pudiendo variar únicamente en los signos como ya hemos visto antes.

Responde a las siguientes cuestiones a partir de la escena:

• Mueve el punto P a lo largo del cuadrante y saca la relación que existe entre los ángulos α  y  β.

• ¿Con qué ángulo del primer cuadrante se relaciona el ángulo 150º?

• ¿A qué ángulo del primer cuadrante podemos reducir el ángulo 100º?

• ¿Qué ángulo del segundo cuadrante se relaciona con 42º del primero?

• ¿Qué ángulos tienen seno igual a 0.75?

• Si el coseno de 40º vale 0.76, ¿cuánto vale el coseno de 140º?

• Si la tangente de 72º vale 3.06, ¿qué ángulo tendrá tangente igual a   - 3.06?

Moraleja: Si tenemos un ángulo β en el segundo cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero, sólo tenemos que hacer la operación:  180 - α = β   y despejar  α, es decir buscar su ángulo suplementario.

Reducción del tercer cuadrante al primero (ángulos que difieren 180º)

Observa la siguiente escena. Moviendo el punto P, puedes obtener cualquier ángulo  β del tercer cuadrante ( ángulos entre 180º y 270º.)

A partir del punto P y del segmento que lo une con el origen para definir el ángulo, obtenemos el triángulo verde del que sacaremos las razones trigonométricas del ángulo β.  

   Igual que antes, la longitud del segmento rojo nos dará el seno del ángulo  β y la longitud del segmento azul el coseno.

  Observa ahora el triángulo que hemos construido en el primer cuadrante prolongando el segmento que une el punto P con el origen de coordenadas. Este triángulo rosa que se forma en el primer cuadrante tiene otra vez  exactamente las mismas dimensiones que el verde, pues los segmentos azules son iguales y los segmentos rojos son iguales. Al igual que antes en este triángulo tenemos definido un ángulo ya del primer cuadrante α .

   En este nuevo triángulo, el seno de α lo marca el segmento rojo y el coseno el segmento azul, y puesto que los segmentos rojos eran iguales y los azules también, las razones trigonométricas de los ángulos  α  y  β serán también iguales,  variando únicamente como ya sabemos en los signos.

Responde a las siguientes cuestiones a partir de la escena:

• Mueve el punto P a lo largo del cuadrante y saca la relación que existe entre los ángulos α  y  β.

• ¿Con qué ángulo del primer cuadrante se relaciona el ángulo 250º?

• ¿A qué ángulo del primer cuadrante podemos reducir el ángulo 192º?

• ¿Qué ángulo del tercer cuadrante se relaciona con 22º del primero?

• ¿Qué ángulos tienen tangente  igual a 2?

• Si el coseno de 40º vale 0.76, ¿cuánto vale el coseno de 220º?

• Si la tangente de 68º vale 2.45, ¿cuánto vale la tangente de 248?

• Si el seno de 72º vale 0.95, ¿qué ángulo tendrá seno igual a   - 0.95?

Moraleja: Si tenemos un ángulo β en el tercer cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero, sólo tenemos que hacer la operación:  180 + α = β   y despejar  α, es decir buscar el ángulo que difiere con el 180º.

Reducción del cuarto cuadrante al primero (ángulos opuestos)

   Observa la siguiente escena. Moviendo el punto P, puedes obtener cualquier ángulo  β del cuarto cuadrante ( ángulos entre 270º y 360º.)

Otra vez a partir del punto P y del segmento que lo une con el origen para definir el ángulo, obtenemos el triángulo verde del que sacaremos las razones trigonométricas del ángulo β.  

   Igual que en los casos anteriores, hemos construido un triángulo en el primer cuadrante que nos marca el ángulo  α y que es igual en dimensiones al verde, pues una vez más los segmentos rojos y azules son iguales entre sí.

   Observa el ángulo γ que hemos dibujado en ese triángulo. Puedes comprobar moviendo el punto P que en todo momento los ángulos  α  y  γ son iguales en amplitud.

   El ángulo que nos define el punto P podemos medirlo de dos formas; una la usual, en el sentido antihorario y la otra en el sentido de las agujas del reloj, que nos daría un valor negativo para el ángulo.

   Para calcular las razones trigonométricas de ese ángulo β del cuarto cuadrante vamos a fijarnos entonces en el ángulo γ, y como acabamos de ver que  α  y  γ son iguales, las razones trigonométricas vendrán dadas entonces por las del ángulo α.

Responde a las siguientes cuestiones a partir de la escena:

• Mueve el punto P a lo largo del cuadrante y saca la relación que existe entre los ángulos α  y  β.

• ¿Con qué ángulo del primer cuadrante se relaciona el ángulo 340º?

• ¿A qué ángulo del primer cuadrante podemos reducir el ángulo 282º?

• ¿Qué ángulo del cuarto cuadrante se relaciona con 22º del primero?

• ¿Qué ángulos tienen coseno  igual a 0.74?

• Si el coseno de 40º vale 0.76, ¿cuánto vale el coseno de 320º?

• Si la tangente de 68º vale 2.45, ¿cuánto vale la tangente de 292?

• Si el seno de 72º vale 0.95, ¿qué ángulo tendrá seno igual a   - 0.95?

  Moraleja: Si tenemos un ángulo β en el cuarto cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero, sólo tenemos que hacer la operación:  360 - α = β   y despejar  α, es decir buscar el ángulo que completa la circunferencia. Esto es lo mismo que poner el ángulo en negativo y quedarnos con el opuesto

Ángulos complementarios

Otra relación que existe entre ángulos y razones trigonométrica es la de los ángulos complementarios ( ángulos del primer cuadrante que suman 90º.)

  El punto D del applet nos da el ángulo α.

   Sólo  tienes que mover el punto  a lo largo del arco de circunferencia. Observa que los ángulos α y γ son complementarios, pues siempre suman 90º.

¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos 20º y 70º?

¿Qué relación existe entre las razones de los ángulos 30º y 60º?

En general, ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de dos ángulos complementarios?

¿Crees qué existe también alguna relación entre las tangentes?