ESTADÍSTICA
Tema 5: Distribuciones Aleatorias


4.- VARIABLES   ALEATORIAS   CONTINUAS.  LA   DISTRIBUCIÓN   NORMAL.

FUNCIÓN  DE  PROBABILIDAD  DE  UNA  VARIABLES  ALEATORIAS  CONTINUA

Determinados experimentos pueden llegar a tomar todos los valores de un determinado intervalo real, llegando así al concepto de distribución continua.
Si recuerdas el primer tema, cuando vimos las variables estadísticas continuas, éstas las agrupábamos en intervalos y todos los cálculos los hacíamos a partir de esos intervalos. Pues ahora igual; las probabilidades relacionadas con una variable continua las calcularemos a partir de intervalos y la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor  concreto será siempre 0, esto es, si X es una variable aleatoria continua, P[ X = a ] = 0, sea "a" el número que sea.

Así pues, en una variable aleatoria continua, no existe el concepto de función de probabilidad tal cual, sino que se utiliza el concepto de función de densidad, y su significado es que la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome valores dentro de un intervalo es igual al área que encierra dicha curva en el intervalo citado.

Ejemplo: Supongamos que tenemos una variable aleatoria continua X  cuya función de densidad f(x) viene dada por la gráfica:

Si queremos calcular la probabilidad de X Tome valores entre los Puntos D y H, tendríamos que calcular el área bajo la curva entre los puntos D y H, es decir la el área sombreada con color rosa. Así pues,  P[ D < X < H ] = "área rosa" = 0.57.

Nota: Para que una función sea de densidad, tiene que ser positiva, es decir, estar siempre por encima del eje de las X, y que el área total bajo ella sea 1, pues como ya sabemos, las probabilidades están comprendidas entre 0 y 1.





En esta escena se representa el histograma de frecuencia relativa de una variable continua.
 Para comenzar dale el valor 1 a 'comenzar 0/1'

1.- Con el valor de los controles iniciales se representa un histograma para 1000 valores agrupados en 25 intervalos.

2.- La variable que estudiamos depende de muchos factores independientes y su media es aproximadamente igual a 100.

3.- Aumenta el control 'nº de puntos' y observa el histograma.

4.- El modelo al que tiende es un histograma simétrico centrado en una media igual a 100.

5.- Para ver la función de densidad dale el valor '1' al control

        Responde en tu cuaderno a las siguientes cuestiones:

  1. Prueba con distintos valores hasta que tengas una función de densidad simétrica

  2. El modelo al que tiende se llama distribución normal y la función de densidad se conoce como "campana de Gauss".

  3. Aumenta el valor del 'nº de puntos' y busca los que den una función de densidad que se parezca más a una campana.

  4. La función de densidad aparece como límite de los histogramas de frecuencia cuando el número de intervalos tiende a infinito y lógicamente son cada vez de amplitud menor. 

 

Propiedades de las distribuciones continuas

Por tanto en una distribución continua, no existe diferencia entre los símbolos < y ≤  ni entre los símbolos  >  y  ≥.

LA  DISTRIBUCIÓN  NORMAL

Al igual que en las variables discretas se estudió como modelo la distribución, en este caso vamos a describir, de entre las variables continuas, la distribución normal o de Gauss.

Para determinar esta distribución sólo es necesario conocer sus dos parámetros, la media o esperanza de la variable, que representaremos por µ y la desviación típica, que representaremos por  σ.

Pues bien, una variable aleatoria continua decimos que sigue una distribución normal de parámetros µ y σ, ( X →N( µ, σ ) ) si su función de densidad asociada viene dada por

 

La gráfica de esa función recibe el nombre de curva o campana de Gauss, debido al aspecto que presenta y en la siguiente escena la puedes observar

 

En esta escena representa la función de densidad de una distribución normal de media cero y desviación típica uno. La llamaremos N(0,1). A la variable se la denomina 'z'.

Vamos a estudiar las propiedades de la función de densidad obtenida en la escena anterior. Responde a las siguientes cuestiones:

1.-  Con 'comenzar=0' dale distintos valores a la media y observa cómo cambia la función. Haz lo mismo con la 'desv típ'.

2.- Cuando has variado los controles anteriores, ¿para qué valor de la variable alcanza siempre el máximo la función?

4.- La probabilidad de que la variable se encuentre entre dos valores viene dada por el área bajo la curva. Dale a 'comenzar' el valor 1 y lo verás mejor. Mueve los controles, manteniendo P a la izquierda de Q y verás el área ( zona coloreada), es decir la probabilidad de que la variable se encuentre entre los dos números representados en el eje de abscisas. 

  1. Con los valores iniciales N(0,1) calcula la probabilidad de que la variable este entre -1 y 1

  2. Ídem entre -2 y 2

  3. Ídem que sea mayor que cero

  4. Ídem que sea menor que -0,5

  5. Ídem entre 1 y 2

  6. Ídem que sea igual a 1.

  7. En las tablas aparece la función F(a)=p(z<a).Con los valores iniciales N(0,1) calcula F(2), F(-1.23), F(3) y F(0).

5.- Si X es N(1.8 , 2.2), calcula:

P[-2<X<3];  P[X≥ 0 ]  y    P[X < 5] 

*utiliza el zoom si es preciso.

6.- Si X es N(-1.3 , 0.5 ) , calcula:

P [ X > -1];  P [ 0.5 < x ≤  1.5 ]

 

 


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