4. Continuidad
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Si recuerdas del curso anterior, una función era continua si no tenía ninguna interrupción; si se podía dibujar de un trazo sin levantar el lápiz del papel. Esto es una visión global de la continuidad, pero cuando no hay continuidad es porque esta propiedad falla en un determinado lugar. ¿Y qué será lo que falla?
Ha llegado el momento de juntar límite y continuidad y de ver la continuidad de una función pero sin necesidad ya de tener que ver la gráfica por delante. De momento, vamos a comenzar recordando las tres posibilidades de discontinuidad que conocemos.
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| Discontinuidad evitable |
Discontinuidad de salto infinito |
Discontinuidad de salto finito |
Vamos a comenzar con la primera. ¿Por qué se produce una discontinuidad evitable?
Si te fijas en la primera gráfica, si nos acercamos en el eje X a 1, la función, tanto por la izquierda como por la derecha de 1, se acerca a -7. El problema está en que justo cuando llegamos al valor x=1, la función se va al 2 en lugar de -7. Por tanto, lo que ocurre aquí es que límite e imagen de la función no coinciden:
Si te fijas, en todos los otros puntos esto sí se cumple, el límite de la función coincide con el valor de la imagen.
La segunda discontinuidad que aparece es la de salto infinito. ¿Por qué en x=3 hay una discontinuidad de salto infinito? La respuesta es clara, porque cuando nos acercamos a x=3, la función se va hacia infinito; a -∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha, o sea, cuando al hacer el límite en el punto el resultado es infinito:
Si recuerdas, esto ocurría en las indeterminaciones k/0.
Por último, la tercera gráfica no es continua porque en x=1 hay un salto. ¿Qué es lo que ocurre para que haya esa discontinuidad de salto finito? Pues que cuando nos acercamos a 1, la función se acerca a distintas cosas según por el lado que lo hagamos, por la izquierda se acerca a -7 y por la derecha a 3. Luego, lo que ocurre, es que los dos límites laterales existen, son números reales, pero no coinciden.
Si te fijas en todos los otros puntos esto sí se cumple, los límites laterales coinciden.
Importante
Teniendo en cuenta lo que acabamos de ver, una función es continua en x = a si:
- Existe f(a).
- Los dos límites laterales existen, son números reales y coinciden.
- El valor del límite coincide con el de la imagen.
Esas tres propiedades se resumen en: 
En general, todas las funciones elementales, las que has visto en el tema anterior, son continuas en sus respectivos dominios de definición.
De forma análoga a como definimos los límites laterales, podemos hablar de las continuidades laterales de una función.
La función f(x) es continua por la izquierda en 
si existen 
y 
y se cumple que 
.
Por su parte será continua por la derecha en 
si existe 
y 
y se cumple que 
.
Como consecuencia de lo anterior diremos que una función f(x) es continua en un intervalo [a,b] si la función es continua en todos los puntos interiores del intervalo y además es continua a la derecha de a y a la izquierda de b. Si el intervalo fuese abierto estas dos últimas condiciones sobrarían.
Ejemplo o ejercicio resuelto
En estos dos vídeos tienes dos ejercicios clásicos de continuidad con funciones. en el primero se estudia la continuidad de una función a trizis y en el segundo hay que encontrar los valores de ciertos parámetros para que la función sea continua:
AV - Reflexión
La función f(t) que mostramos a continuación muestra el beneficio de la empresa EXRED (en cientos de miles de euros) a lo largo de los diez primeros años tras su fundación. La función donde t expresa el tiempo en años es:
¿Es continuo el crecimiento de los beneficios de la empresa?
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Ahora te proponemos que estudies la continuidad de las siguientes funciones y, una vez que lo hayas hecho completes los huecos que aparecen más abajo teniendo en cuenta que ninguna de las afirmaciones se repite:
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q(x) presenta una discontinuidad en x= .
g(x) presenta una discontinuidad en x=3.
es continua para todos los valores.
presenta una discontinuidad en x=0.
presenta una discontinuidad en x=4
g(x) presenta una discontinuidad en x= .
presenta una discontinuidad de salto infinito en x=0