Potencias
Importante
Como bien sabes, la potencia de exponente natural de un número es una operación que consiste en multiplicar por sí mismo dicho número una serie de veces.
Pues bien, con matrices también podemos hacer la operación potencia, pero, para que esta tenga sentido, la matriz debe poderse multiplicar por sí misma, y esto sólo es posible si la matriz es cuadrada, pues tiene que cumplirse que el número de filas sea igual que el número de columnas.
Por tanto, las potencias de matrices pueden hacerse siempre y cuando éstas sean cuadradas. Fíjate en el siguiente vídeo para ver cómo se hace:
Ejemplo o ejercicio resuelto
A continuación, algunos ejercicios en los que se usan potencias:
A continuación, un vídeo en el que hay que calcular algunas incógnitas en una matriz para que se cumpla una condición. Una vez resuelta esta cuestión, se calcula una potencia de exponente grande de una matriz.
Para saber más
Ejercicio sobre potencia n-ésima de una matriz.
En este tipo de ejercicio hay que buscar el truco que van siguiendo las matrices cuando se van haciendo las sucesivas potencias. Fíjate en este ejemplo:
Curiosidad
 |
| Imagen de bibliotecapublicas.es bajo licencia Creative Commons |
¿Recuerdas los grafos del tema anterior? ¿Recuerdas que también se podían poner como matrices? Pues bien, el producto de matrices también se puede aplicar ahí, y más concretamente la potencia, o sea, multiplicar una matriz por sí misma una serie de veces.
Si A es la matriz de adyacencia de un grafo, A2 (A·A) representa el número de caminos que hay para ir de un lugar a otro en dos pasos, o sea, pasando antes por un lugar intermedio, A3 representaría el número de caminos que une los puntos dando tres pasos, A4 en cuatro pasos y así sucesivamente.
Vamos a verlo en un ejemplo. Recuerdas el mapa y el grafo que teníamos de los pueblos que rodeaban a Morón. Vamos a acortarlo un poco porque la matriz que salía era considerable. Vamos a quedarnos sólo con cuatro pueblos: Morón, El Coronil, Montellano y Coripe.
La matriz de adyacencia de ese grafo quedaría: 
colocando los pueblos en el orden anterior.
Si calculamos A2, obtendríamos lo siguiente:
Por ejemplo, que a13=2 quiere decir que existen dos caminos para ir de Morón a Montellano en dos pasos, que serían ir de Morón a Coripe y de Coripe a Montellano y el otro ir de Morón a El Coronil y después de El Coronil a Montellano.