4. Derivabilidad de funciones
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Y si sigues recordando, vimos en el tema de los límites que para que exista el límite de una función en un punto, deben existir los límites laterales y coincidir. Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como los límites laterales del anterior:
Derivada por la izquierda: 
Derivada pr la derecha: 
Y por tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, las derivadas laterales deben coincidir.
Importante
Una función es derivable en x = a si existen las dos derivadas laterales y coinciden.
Todas las funciones elementales son derivables en los puntos de su dominio.
Al igual que con la continuidad, estudiar la derivabilidad de una función consiste en decidir en que puntos la función es derivable, para ello, habrá que analizar el dominio de la función, y si ésta es a trozos, estudiar detalladamente los puntos donde se corta la función.
Ejemplo
Estudia la derivabilidad de la función 
1º Trozo: y= 2x2 +1. Dom = 
, por tanto, continua y derivable en (-∞, 1)
2º Trozo: y = x + 2. Dom = ,
por tanto, continua y derivable en (1, +∞). Así que nuestra función es
continua y derivable en todos los números reales, salvo quizás, en x =
1. Vemos aparte este punto.
f '(1-) = (2x2 +1)'|x=1 = 4x|x=1 = 4
f '(1+) = (x+2)'|x=1 = 1|x=1 = 1
Por tanto, no es derivable en x = 1, así, la función es derivable en 
Propiedades
- Para que una función sea derivable en un punto es necesario que sea continua en dicho punto.
- Si es derivable, seguro que es continua, es decir, DERIVABLE → CONTINUA
- La función valor absoluto hay que definirla como función a trozos, y nunca será derivable en los puntos donde vale cero, es decir, en los puntos de corte de la función a trozos.
Autoevaluación
En el enlace que te proponemos, puedes practicar con ejercicios sobre continuidad y derivabilidad de funciones.