3. Proyecciones y elementos simétricos
Cuando hablamos de proyectar, lo hacemos siempre perpendicularmente, es decir, se trata de trasladar un elemento sobre otro de forma que el movimiento que haga sea perpendicular respecto al que estamos trasladando.
En este curso vemos tres tipos de proyecciones, de un punto sobre un plano, de un punto sobre una recta y de una recta sobre un plano.
Proyección de un punto sobre un plano
Calculamos la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto P.
Cortamos la recta obtenida con el plano (ya sabes, sustituir la paramétrica de la recta en la implícita del plano).El punto de corte obtenido, es la proyección P' del punto P sobre el plano π.
Proyección de un punto sobre una recta
Calculamos el plano perpendicular a la recta r que pasa por P
Cortamos recta y plano. El punto obtenido P', es la proyección del punto P sobre la recta r
Proyección de una recta sobre un plano
Podemos hacerlo de dos formas:
Forma 1: Cogemos dos puntos de la recta P y Q y hacemos la proyección de estos sobre el plano, obteniendo así dos puntos en el plano P' y Q'. La recta que une estos puntos es la proyección de la recta r sobre el plano π.
Forma 2:
Calculamos el plano π' perpendicular a π y que contiene a r
La recta s que se obtiene al cortar los planos π y π', es la proyección de r sobre π.
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Recta perpendicular a otra
Si tenemos una recta en el espacio, direcciones perpendiculares a ésta hay infinitas, pero sólo una pasa por un punto determinado. ¿Cómo calcularla?
Pues en realidad, lo acabamos de hacer. Calculamos la proyección del punto sobre la recta y la recta que une el punto con su proyección será la perpendicular buscada. Así que, si queremos calcular una recta perpendicular a r que pase por P, procedemos así:
- Calcular la proyección P' del punto P sobre la recta r.
- La recta que une P con P', es la perpendicular buscada.
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Temas 6 y 7: Geometría euclídea y métrica. Matemáticas II.