6. Algunas rectas peculiares
Perpendicular común a dos rectas que se cruzan
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Si dos rectas r y s se cruzan, hay una recta que es simultáneamente perpendicular a ambas, y además, el corte de esta con las rectas originales nos dan los puntos más próximos entre las rectas. Procedemos así:
- Calculamos el producto vectorial, que llamaremos
de los vectores directores de r y s. Este vector será perpendicular a la vez a r y s.
- Hallamos el plano πr que contiene a la recta r y al vector
.
- Hallamos el plano πs que contiene a la recta s y al vector
.
- La recta que sale de cortar ambos planos (juntar las dos ecuaciones implícitas) es la perpendicular común buscada pues el plano πr es perpendicular a s y el plano πs es perpendicular a a r.
Nota: Si las rectas se cortan, también podemos calcular la perpendicular común siguiendo estos pasos, aunque bastaría con hacer la recta que lleva como dirección el producto vectorial de los vectores directores y que pasa por el punto de corte de las rectas.
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Recta que se apoya en dos y pasa por un punto dado
Tenemos dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que pasa por un punto P y toca a las otras dos. Procedemos así:
- Calculamos el plano π1 que contiene a r1 y al punto P.
- Calculamos el plano π2 que contiene a r2 y al punto P.
- La recta s que sale de cortar ambos planos (juntar las dos ecuaciones implícitas) es la solución buscada.
Recta que se apoya en dos y es paralela a una tercera
El procedimiento es exactamente igual que el anterior cambiando la condición de que contiene al punto P a que los planos han de contener al vector de dirección de la tercera recta. Tenemos pues dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que es paralela a una tercera recta s y toca a las otras dos. Procedemos así:
- Calculamos el plano π1 que contiene a r1 y es paralelo a la recta s.
- Calculamos el plano π2 que contiene a r2 y es paralelo a la recta s.
- La recta que sale de cortar ambos planos (juntar las dos ecuaciones implícitas) es la solución buscada.
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Temas 6 y 7: Geometría euclídea y métrica. Matemáticas II.