4.1. Con raíces complejas en el denominador
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| Más raro que un elefante sobre una silla |
Observa esta integral:
Es muy parecida a la que daba como resultado arcotangente.
Fíjate que el grado del numerador es menor que el del denominador (0 y 1), que no se puede obtener arriba la derivada del denominador y que las raíces del denominador son 
, o sea, números comlejos.
Bien, pues en este caso y siempre que tengamos un número entre un polinomio de grado 2 con raíces complejas, vamos a llegar efectivamente a una arcotangente. Fíjate en el vídeo cómo lo hacemos:
Aprende a hacerlo
Pero claro, también podemos tener el caso de un polinomio de grado 1 entre un polinomio de grado 2 con raíz compleja. En este caso, vamos a ver que salen dos partes, una que nos va a dar un logaritmo y otra que nos va a dar una arcotangente.
Resolvemos la integral 
. No está la descomposición en fracciones simples porque no se puede; al igualar a cero el denominador y resolver la ecuación, nos encontramos con la raíz de un número negativo.
| Primera parte |
Segunda Parte |
Para saber más
Y ya lo más de lo más, al hacer la factorización del denominador sale de todo, raíces reales simples o múltiples y raíces complejas.
Al hacer la descomposición en fracciones simples, al factor del denominador que da la raíz compleja, no se le pone arriba una letra, sino un polinomio de grado 1, es decir, una expresión de la forma "Mx + N". Las otras integrales se resolverán como hemos visto en el punto anterior y la de la parte con raíz compleja, como la que hemos visto arriba.
En este vídeo, un ejemplo resuelto, aunque como puedes ver, la resolución de esta integral es bastante más larga: